Se repasa muy brevemente el concepto de función de Green y su uso en Física a un nivel introductorio.
Definición
La definición formal implicita de una funcion de Green asociada a un operador diferencial lineal L para una variable real se define por:
$$L[G(x,y)]=δ(x-y)$$
Esto involucra una operador diferencial que estará bien definido en un dominio concreto. Veamos un ejemplo para entender mejor la definición.
Oscilador armónico
En este caso en física (mecánica) clásica tenemos que la ecuación diferencial que determina el movimiento de un oscilador armónico sería:
$$m {d^2r(t)}/{dt^{2}}+kr(t)=0$$
cuya solución conocida es una una función armónica del tipo:
$$r(t)=A_1cos(ωt)+A_2sin(ωt)$$
Donde $ω$ es una constante determinada por nuestro problema: valores de m y k. Mientras que las constantes $A_1$ y $A_2$ se relacionan con las condiciones iniciales o de frontera concretas. Este problema ha sido más o menos directo. Sin embargo es más interesante considerar ahora como resolver el caso de un oscilador forzado1 cuya ecuación diferencial de movimiento sería:
$$m{d^2r(t)}/{dt^{2}}+mω^2r(t)=f(t)$$
Es ahora donde vamos a ver la utilidad de las funciones de Green, como en muchos métodos en matemáticas la idea es transformar nuestro problema en otro equivalente para el que tengamos modos de resolverlo.
Lo primero es recordar la definción de función de Green, y compararla con el oscilador armónico cuando $f(t)=δ(t-t_1)$, es decir, $[m{d^2}/{dt^{2}}+mω^2]r(t)=δ(t-t_1)$
$$L[G(t,t_1)]=δ(t-t_1)$$
Como el operador $[m{d^2}/{dt^{2}}+mω^2]$ es un operador lineal tendremos:
$$∂^{2}[G(t,t_1)]/∂t^{2}+ω^{2}G(t,t_1)=(1/m)δ(t-t_1)$$
Imaginemos ahora que tenemos un modo de resolver esta ecuación para G, entonces la solución al problema del oscilador armónico forzado sería:
$$r(t)=∫_{t_0}^{t_f} G(t,t_1)f(t_1)(1/m)dt_1$$
para demostrarlo bastaría sustituir este $r(t)$ en nuestro problema inicial para ver que es una solución.
En este punto es importante notar que la ecuación diferencial para $G$ puede resolverse en el espacio de Fourier:
$$G(k,t_1)=∫_{-∞}^{∞} G(t,t_1)e^{ik(t-t_1)}dt$$
de modo más o menos directo, y obtener una forma integral para $G(t,t_1)$ que suele resolverse por el método de los residuos en el espacio complejo. Estos pasos no son triviales pero sí son bien conocidos dentro de la matemáticas aplicadas a la física. Lo interesante es que muchos problemas/ecuaciones diferenciales en fisica pueden afrontarse con estas ideas de modo sistemático, ademas de desarrollar métodos computacionales para ello.